O parabolă este un grafic al unei funcții pătratice și are o curbă netedă în formă de „U”. Parabolele sunt, de asemenea, simetrice, ceea ce înseamnă că pot fi pliate de-a lungul unei linii, astfel încât toate punctele de pe o parte a liniei de pliere să coincidă cu punctele corespunzătoare de pe cealaltă parte a liniei de pliere. Linia de pliere, numită axa de simetrie, este linia verticală care trece prin verex. Orice punct de pe parabolă este echidistant de un punct fix (focalizarea) și o linie dreaptă fixă (directrixul). Pentru a grafica o parabolă, trebuie să îi găsiți vârful, precum și mai multe puncte de ambele părți ale vârfului, pentru a marca calea pe care o parcurg punctele.
Pași
Partea 1 din 2: Graficarea unei parabole
Pasul 1. Înțelegeți părțile unei parabole
Este posibil să vi se furnizeze anumite informații înainte de a începe și cunoașterea terminologiei vă va ajuta să evitați pașii inutili. Iată părțile parabolei pe care va trebui să le cunoașteți:
- Accentul. Un punct fix din interiorul parabolei care este utilizat pentru definirea formală a curbei.
- Directrixul. O linie dreaptă fixă. Parabola este locusul (seria) punctelor în care orice punct dat se află la distanță egală de focalizare și directoare. (Vezi diagrama de mai sus.)
- Axa de simetrie. Aceasta este o linie dreaptă care trece prin punctul de cotitură („vârf”) al parabolei și este echidistantă de punctele corespunzătoare de pe cele două brațe ale parabolei.
- Vârful. Punctul în care axa de simetrie traversează parabola se numește vârful parabolei. Dacă parabola se deschide în sus sau în dreapta, vârful este un punct minim al curbei. Dacă se deschide în jos sau în stânga, vârful este un punct maxim.
Pasul 2. Cunoașteți ecuația unei parabole
Ecuația generală a unei parabole este y = ax2+ bx + c. Poate fi scris și sub forma și mai generală y = a (x - h) ² + k, dar ne vom concentra aici pe prima formă a ecuației.
- Dacă coeficientul a din ecuație este pozitiv, parabola se deschide în sus (într-o parabolă orientată vertical), ca litera „U”, iar vârful său este un punct minim. Dacă a este negativ, parabola se deschide în jos și are un vârf în punctul său maxim. Dacă aveți probleme să vă amintiți acest lucru, gândiți-vă astfel: o ecuație cu o valoare pozitivă arată ca un zâmbet; o ecuație cu o valoare negativă arată ca o încruntare.
- Să presupunem că aveți următoarea ecuație: y = 2x2 -1. Această parabolă va avea forma unui "U" deoarece valoarea a (2) este pozitivă.
- Dacă ecuația are un termen y pătrat în loc de un termen x pătrat, parabola va fi orientată orizontal și deschisă lateral, spre dreapta sau spre stânga, ca un „C” sau un „C” înapoi. De exemplu, parabola y2 = x + 3 se deschide spre dreapta, ca un „C.”
Pasul 3. Găsiți axa de simetrie
Amintiți-vă că axa de simetrie este linia dreaptă care trece prin punctul de cotitură (vârf) al parabolei. În cazul unei parabole verticale (deschizându-se în sus sau în jos), axa este aceeași cu coordonata x a vârfului, care este valoarea x a punctului în care axa de simetrie traversează parabola. Pentru a găsi axa de simetrie, utilizați această formulă: x = -b / 2a.
- În exemplul de mai sus (y = 2x² -1), a = 2 și b = 0. Acum puteți calcula axa de simetrie prin conectarea numerelor: x = -0 / (2) (2) = 0.
- În acest caz, axa de simetrie este x = 0 (care este axa y a planului de coordonate).
Pasul 4. Găsiți vârful
Odată ce cunoașteți axa de simetrie, puteți conecta acea valoare pentru x pentru a obține coordonata y. Aceste două coordonate vă vor da vârful parabolei. În acest caz, ați conecta 0 la 2x2 -1 pentru a obține coordonata y. y = 2 x 02 -1 = 0 -1 = -1. Vârful este (0, -1), iar parabola traversează axa y la -1.
Coordonatele vârfului sunt uneori cunoscute ca (h, k). În acest caz, h este 0 și k este -1. Ecuația parabolei poate fi scrisă sub forma y = a (x - h) ² + k. În această formă, vârful este punctul (h, k) și nu trebuie să faceți nicio matematică pentru a găsi vârful dincolo de interpretarea corectă a graficului
Pasul 5. Configurați un tabel cu valorile alese de x
Creați un tabel cu valori particulare ale lui x în prima coloană. Acest tabel vă va oferi coordonatele de care aveți nevoie pentru a grafica ecuația.
- Valoarea medie a lui x ar trebui să fie axa de simetrie în cazul unei parabole „verticale”.
- Ar trebui să includeți cel puțin două valori deasupra și sub valoarea medie pentru x în tabel, din motive de simetrie.
- În acest exemplu, puneți valoarea axei de simetrie (x = 0) în mijlocul tabelului.
Pasul 6. Calculați valorile coordonatelor y corespunzătoare
Înlocuiți fiecare valoare a lui x în ecuația parabolei și calculați valorile corespunzătoare ale lui y. Introduceți aceste valori calculate ale lui în tabel. În acest exemplu, valorile lui y sunt calculate după cum urmează:
- Pentru x = -2, y se calculează ca: y = (2) (-2)2 - 1 = 8 - 1 = 7
- Pentru x = -1, y se calculează astfel: y = (2) (-1)2 - 1 = 2 - 1 = 1
- Pentru x = 0, y se calculează astfel: y = (2) (0)2 - 1 = 0 - 1 = -1
- Pentru x = 1, y se calculează astfel: y = (2) (1)2 - 1 = 2 - 1 = 1
- Pentru x = 2, y se calculează astfel: y = (2) (2)2 - 1 = 8 - 1 = 7
Pasul 7. Introduceți valorile calculate ale lui în tabel
Acum că ați găsit cel puțin cinci perechi de coordonate pentru parabolă, sunteți aproape gata să o graficați. Pe baza activității dvs., aveți acum următoarele puncte: (-2, 7), (-1, 1), (0, -1), (1, 1), (2, 7). Amintiți-vă că parabola este reflectată (simetrică) în raport cu axa de simetrie. Aceasta înseamnă că coordonatele y ale punctelor direct peste axa de simetrie unele de altele vor fi aceleași. Coordonatele y pentru coordonatele x -2 și +2 sunt ambele 7; coordonatele y pentru coordonatele x -1 și +1 sunt ambele 1 și așa mai departe.
Pasul 8. Trasează punctele tabelului pe planul de coordonate
Fiecare rând al tabelului formează o pereche de coordonate (x, y) pe planul de coordonate. Graficați toate punctele folosind coordonatele date în tabel.
- Axa x este orizontală; axa y este verticală.
- Numerele pozitive de pe axa y sunt deasupra punctului (0, 0), iar numerele negative de pe axa y sunt sub punctul (0, 0).
- Numerele pozitive de pe axa x sunt la dreapta punctului (0, 0), iar numerele negative de pe axa x sunt la stânga punctului (0, 0).
Pasul 9. Conectați punctele
Pentru a grafica parabola, conectați punctele trasate în pasul anterior. Graficul din acest exemplu va arăta ca un U. Conectați punctele folosind linii ușor curbate (mai degrabă decât drepte). Aceasta va crea imaginea cea mai exactă a parabolei (care este cel puțin ușor curbată pe toată lungimea sa). La ambele capete ale parabolei, puteți dori să desenați săgeți îndreptate spre vârf. Acest lucru va indica faptul că parabola continuă la nesfârșit.
Partea 2 din 2: Schimbarea graficului unei parabole
Dacă doriți o comandă rapidă pentru deplasarea unei parabole fără a fi nevoie să-i găsiți din nou vârful și să replatați mai multe puncte pe ea, va trebui să înțelegeți cum să citiți ecuația unei parabole și să învățați să o deplasați vertical sau orizontal. Începeți cu parabola de bază: y = x2. Acesta are vârful la (0, 0) și se deschide în sus. Punctele de pe acesta includ (-1, 1), (1, 1), (-2, 4) și (2, 4). Puteți schimba o parabolă pe baza ecuației sale.
Pasul 1. Mutați o parabolă în sus
Se consideră ecuația y = x2 +1. Aceasta schimbă parabola originală cu 1 unitate în sus. Vârful este acum (0, 1) în loc de (0, 0). Va păstra forma exactă a parabolei originale, dar fiecare coordonată y va fi deplasată în sus cu 1 unitate. Deci, în loc de (-1, 1) și (1, 1), trasăm (-1, 2) și (1, 2).
Pasul 2. Mutați o parabolă în jos
Luați ecuația y = x2 -1. Deplasăm parabola originală în jos cu 1 unitate, astfel încât vârful să fie acum (0, -1) în loc de (0, 0). Va avea în continuare aceeași formă a parabolei originale, dar fiecare coordonată y va fi deplasată în jos cu 1 unitate. Deci, în loc de (-1, 1) și (1, 1), de exemplu, trasăm (-1, 0) și (1, 0).
Pasul 3. Mutați o parabolă la stânga
Se consideră ecuația y = (x + 1)2. Aceasta mută parabola originală cu o unitate spre stânga. Vârful este acum (-1, 0) în loc de (0, 0). Păstrează forma parabolei originale, dar fiecare coordonată x este deplasată spre stânga cu o unitate. În loc de (-1, 1) și (1, 1), de exemplu, trasăm (-2, 1) și (0, 1).
Pasul 4. Mutați o parabolă la dreapta
Se consideră ecuația y = (x - 1)2. Aceasta este parabola originală deplasată cu o unitate spre dreapta. Vârful este acum (1, 0) în loc de (0, 0). Păstrează forma parabolei originale, dar fiecare coordonată x va fi deplasată către o unitate dreaptă. În loc de (-1, 1) și (1, 1), de exemplu, trasăm (0, 1) și (2, 1).
