O funcție rațională este o ecuație care ia forma y = N (x) / D (x) unde N și D sunt polinoame. Încercarea de a schița un grafic precis cu unul manual poate fi o revizuire cuprinzătoare a multora dintre cele mai importante subiecte de matematică din liceu, de la algebră de bază până la calcul diferențial. Luați în considerare următorul exemplu: y = (2 x 2 - 6 x + 5) / (4 x + 2).
Pași
Pasul 1. Găsiți interceptarea y
Pur și simplu setați x = 0. Totul, cu excepția termenilor constanți, dispare, lăsând y = 5/2. Exprimând acest lucru ca o pereche de coordonate, (0, 5/2) este un punct pe grafic. Graficul acestui punct.
Pasul 2. Găsiți asimptota orizontală
Împărțiți lung numitorul în numărător pentru a determina comportamentul lui y pentru valori absolute mari ale lui x. În acest exemplu, diviziunea arată că y = (1/2) x - (7/4) + 17 / (8 x + 4). Pentru valori pozitive sau negative mari de x, 17 / (8 x + 4) se apropie de zero, iar graficul aproxima linia y = (1/2) x - (7/4). Folosind o linie întreruptă sau ușor trasată, faceți graficul acestei linii.
- Dacă gradul numărătorului este mai mic decât gradul numitorului, nu există nicio diviziune de făcut, iar asimptota este y = 0.
- Dacă deg (N) = deg (D), asimptota este o linie orizontală la raportul coeficienților de conducere.
- Dacă deg (N) = deg (D) + 1, asimptota este o linie a cărei pantă este raportul dintre coeficienții de conducere.
- Dacă deg (N)> deg (D) + 1, atunci pentru valori mari de | x |, y merge rapid la infinit pozitiv sau negativ ca polinom pătratic, cubic sau de grad superior. În acest caz, probabil că nu merită să graficăm cu exactitate coeficientul diviziunii.
Pasul 3. Găsiți zerourile
O funcție rațională are zero când numeratorul este zero, deci setați N (x) = 0. În exemplu, 2 x 2 - 6 x + 5 = 0. Discriminantul acestui pătratic este b 2 - 4 ac = 62 - 4 * 2 * 5 = 36 - 40 = -4. Deoarece discriminantul este negativ, N (x) și, în consecință, f (x), nu are rădăcini reale. Graficul nu traversează niciodată axa x. Dacă au fost găsite zero, adăugați aceste puncte în grafic.
Pasul 4. Găsiți asimptotele verticale
O asimptotă verticală apare atunci când numitorul este zero. Setarea 4 x + 2 = 0 dă linia verticală x = -1/2. Graficează fiecare asimptotă verticală cu o linie ușoară sau întreruptă. Dacă o valoare a lui x face atât N (x) = 0, cât și D (x) = 0, poate exista sau nu o asimptotă verticală acolo. Acest lucru este rar, dar consultați sfaturile despre cum să faceți față dacă apare.
Pasul 5. Uită-te la restul diviziunii din pasul 2
Când este pozitiv, negativ sau zero? În exemplu, numeratorul restului este 17, care este întotdeauna pozitiv. Numitorul, 4 x + 2, este pozitiv la dreapta asimptotei verticale și negativ la stânga. Aceasta înseamnă că graficul abordează asimptota liniară din cele de mai sus pentru valori pozitive mari ale lui x și de jos pentru valorile negative mari ale lui x. Deoarece 17 / (8 x + 4) nu poate fi niciodată zero, acest grafic nu intersectează niciodată linia y = (1/2) x - (7/4). Nu adăugați nimic la grafic chiar acum, dar rețineți aceste concluzii pentru mai târziu.
Pasul 6. Găsiți extrema locală
Un extremum local poate apărea ori de câte ori N '(x) D (x) - N (x) D' (x) = 0. În exemplu, N '(x) = 4 x - 6 și D' (x) = 4. N '(x) D (x) - N (x) D' (x) = (4 x - 6) (4 x + 2) - (2 x 2 - 6 x + 5) * 4 = 0. Extinderea, combinarea termenilor și împărțirea la 4 frunze x 2 + x - 4 = 0. Formula pătratică arată rădăcini lângă x = 3/2 și x = -5/2. (Acestea diferă cu aproximativ 0,06 de valorile exacte, dar graficul nostru nu va fi suficient de precis pentru a vă face griji cu privire la acest nivel de detaliu. Alegerea unei aproximări raționale decente facilitează următorul pas.)
Pasul 7. Găsiți valorile y ale fiecărui extremum local
Conectați valorile x de la pasul anterior înapoi la funcția rațională originală pentru a găsi valorile y corespunzătoare. În exemplu, f (3/2) = 1/16 și f (-5/2) = -65/16. Adăugați aceste puncte, (3/2, 1/16) și (-5/2, -65/16), în grafic. Deoarece ne-am aproximat în pasul anterior, acestea nu sunt minime și maxime exacte, dar sunt probabil apropiate. (Știm (3/2, 1/16) este foarte aproape de minimul local. De la pasul 3, știm că y este întotdeauna pozitiv când x> -1/2 și am găsit o valoare la fel de mică ca 1/16, deci cel puțin în acest caz, eroarea este probabil mai mică decât grosimea liniei.)
Pasul 8. Conectați punctele și extindeți graficul lin de la punctele cunoscute la asimptote având grijă să le abordați din direcția corectă
Aveți grijă să nu traversați axa x, cu excepția punctelor deja găsite în pasul 3. Nu traversați asimptota orizontală sau liniară, cu excepția punctelor deja găsite în pasul 5. Nu treceți de la înclinare ascendentă la înclinare descendentă, cu excepția extremul găsit în pasul anterior.
Video - Prin utilizarea acestui serviciu, unele informații pot fi partajate cu YouTube
sfaturi
- Unii dintre acești pași pot implica rezolvarea unui polinom de grad înalt. Dacă nu puteți găsi soluții exacte prin factorizare, formule sau alte mijloace, atunci estimați soluțiile folosind tehnici numerice, cum ar fi metoda lui Newton.
- Dacă urmați pașii în ordine, de obicei nu este necesar să utilizați teste derivate secundare sau metode similare potențial complicate pentru a determina dacă valorile critice sunt maxime locale, minime locale sau niciuna. Încercați să utilizați mai întâi informațiile din pașii anteriori și o mică logică.
- Dacă încercați să faceți acest lucru doar cu metode de precalcul, puteți înlocui pașii de găsire a extremelor locale calculând mai multe perechi ordonate suplimentare (x, y) între fiecare pereche de asimptote. Alternativ, dacă nu vă pasă de ce funcționează, nu există niciun motiv pentru care un student precalcul nu poate lua derivata unui polinom și să rezolve N '(x) D (x) - N (x) D' (x) = 0.
-
În cazuri rare, numărătorul și numitorul pot avea un factor neconstant comun. Dacă urmați pașii, aceasta va apărea ca un asimptot zero și vertical în același loc. Acest lucru este imposibil și ceea ce se întâmplă de fapt este unul dintre următoarele:
- Zero în N (x) are multiplicitate mai mare decât zero în D (x). Graficul lui f (x) se apropie de zero în acest moment, dar este nedefinit acolo. Indicați acest lucru cu un cerc deschis în jurul punctului.
- Zero în N (x) și zero în D (x) au multiplicitate egală. Graficul abordează un punct diferit de zero pentru această valoare a lui x, dar este nedefinit acolo. Din nou, indicați acest lucru cu un cerc deschis.
- Zero din N (x) are multiplicitate mai mică decât zero din D (x). Aici există o asimptotă verticală.
