O Garnitură Apolloniană este un tip de imagine fractală care este formată dintr-o colecție de cercuri mereu micșorate conținute într-un singur cerc mare. Fiecare cerc din Garnitura Apolloniană este tangent la cercurile adiacente - cu alte cuvinte, cercurile din Garnitura Apolloniană fac contact în puncte infinit de mici. Numit pentru matematicianul grec Apollonius din Perga, acest tip de fractal poate fi desenat (manual sau computer) la un grad rezonabil de complexitate, formând o imagine frumoasă, izbitoare. Consultați Pasul 1 de mai jos pentru a începe.
Pași
Partea 1 din 2: Înțelegeți conceptele cheie
Pentru a fi perfect clar, dacă sunteți pur și simplu interesat să desenați o garnitură apoloniană, nu este esențial să cercetați principiile matematice din spatele fractalului. Cu toate acestea, dacă doriți o înțelegere mai profundă a garniturilor Apollonian, este important să înțelegeți definițiile mai multor concepte pe care le vom folosi atunci când le vom discuta.
Pasul 1. Definiți termenii cheie
Următorii termeni sunt utilizați în instrucțiunile de mai jos:
- Garnitură Apolloniană: Unul dintre mai multe nume pentru un tip de fractal compus dintr-o serie de cercuri cuibărite în interiorul unui cerc mare și tangente tuturor celorlalte din apropiere. Acestea se mai numesc „Cercuri Soddy” sau „Cercuri de sărutare”.
- Raza unui cerc: distanța de la punctul central al unui cerc până la marginea sa. De obicei atribuită variabilei r.
- Curbura unui cerc: inversul pozitiv sau negativ al razei sau ± 1 / r. Curbura este pozitivă când se tratează curbura exterioară a cercului și negativă pentru curbura interioară.
- Tangentă: termen aplicat liniilor, planurilor și formelor care se intersectează într-un punct infinit de mic. În garniturile apoliene, aceasta se referă la faptul că fiecare cerc atinge fiecare cerc din apropiere la un singur punct. Rețineți că nu există intersecție - formele tangente nu se suprapun.
Pasul 2. Înțelege teorema lui Descartes
Teorema lui Descartes este o formulă care este utilă pentru calcularea dimensiunilor cercurilor dintr-o garnitură apoloniană. Dacă definim curburile (1 / r) ale oricăror trei cercuri ca a, b și respectiv c, teorema afirmă că curbura cercului (sau cercurilor) tangentă tuturor celor trei, pe care le vom defini ca d, este: d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a)).
În scopurile noastre, în general vom folosi răspunsul pe care îl obținem punând un semn plus în fața rădăcinii pătrate (cu alte cuvinte, … + 2 (sqrt (…)). Deocamdată, este suficient să știm că scăderea forma ecuației își are utilizările în alte sarcini conexe
Partea 2 din 2: Construirea garniturii apoliene
Garniturile apoliene au forma unor frumoase aranjamente fractale ale unor cercuri care se micșorează. Din punct de vedere matematic, garniturile apoliene au o infinită complexitate, dar, indiferent dacă utilizați un program de desen pe computer sau instrumente tradiționale de desen, veți ajunge în cele din urmă la un punct în care este imposibil să desenați cercuri mai mici. Rețineți că cu cât vă trageți mai precis cercurile, cu atât veți putea să vă încadrați mai mult în garnitură.
Pasul 1. Adunați instrumentele de desen digital sau analog
În pașii de mai jos, vom realiza propria noastră garnitură simplă Apollonian. Este posibil să desenați garnituri Apollonian cu mâna sau pe computer. În ambele cazuri, veți dori să puteți desena cercuri perfect rotunde. Acest lucru este destul de important. Deoarece fiecare cerc dintr-o garnitură apoloniană este perfect tangent la cercurile de lângă el, cercurile care sunt chiar ușor deformate vă pot „arunca” produsul final.
- Dacă trageți Garnitura pe un computer, veți avea nevoie de un program care vă permite să desenați cu ușurință cercuri cu o rază fixă dintr-un punct central. Gfig, o extensie de desen vectorial pentru programul gratuit de editare a imaginilor GIMP, poate fi utilizată, la fel ca o mare varietate de alte programe de desen (a se vedea secțiunea materiale pentru linkuri relevante). De asemenea, probabil că veți avea nevoie de o aplicație de calculator și fie de un procesor de text, fie de un bloc de note fizic pentru a lua notițe despre curburi și raze.
- Pentru desenarea garniturii de mână, veți avea nevoie de un calculator (științific sau grafic sugerat), un creion, busolă, riglă (de preferință o scală cu marcaje milimetrice, hârtie milimetrică și un blocnotes pentru luarea notelor.
Pasul 2. Începeți cu un cerc mare
Prima ta sarcină este ușoară - doar desenează un cerc mare, perfect rotund. Cu cât cercul este mai mare, cu atât garnitura poate fi mai complexă, așa că încercați să faceți un cerc cât de mare permite hârtia dvs. sau cât de mare puteți vedea cu ușurință într-o fereastră din programul dvs. de desen.
Pasul 3. Creați un cerc mai mic în interiorul originalului, tangent pe o parte
Apoi, desenați un alt cerc în interiorul primului, mai mic decât originalul, dar încă destul de mare. Dimensiunea exactă a celui de-al doilea cerc depinde de dvs. - nu există o dimensiune corectă. Cu toate acestea, pentru scopurile noastre, să desenăm al doilea cerc al nostru, astfel încât să ajungă exact la jumătatea cercului nostru exterior exterior. Cu alte cuvinte, să desenăm al doilea cerc al nostru astfel încât punctul său central să fie punctul de mijloc al razei cercului mare.
Amintiți-vă că în garniturile apoliene, toate cercurile care se ating sunt tangente una cu cealaltă. Dacă folosiți o busolă pentru a vă desena cercurile cu mâna, recreați acest efect punând vârful ascuțit al busolei în punctul mediu al razei cercului exterior mare, ajustând creionul astfel încât să atingă doar marginea cercului mare, apoi desenând cercul tău interior mai mic
Pasul 4. Desenați un cerc identic „vizavi” de cercul interior mai mic
În continuare, să trasăm un alt cerc vizavi de primul nostru. Acest cerc ar trebui să fie tangent atât la cercul exterior mare, cât și la cercul interior mai mic, ceea ce înseamnă că cele două cercuri interioare ale tale vor atinge exact punctul mediu al cercului exterior mare.
Pasul 5. Aplicați Teorema lui Descartes pentru a găsi dimensiunea cercurilor următoare
Să nu mai desenăm o clipă. Acum, că avem trei cercuri în garnitura noastră, putem folosi teorema lui Descartes pentru a găsi raza cercului următor pe care îl vom desena. Amintiți-vă că Teorema lui Descartes este d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a)), unde a, b și c sunt curburile celor trei cercuri tangente ale dvs. și d este curbura cercului tangent la toate trei. Deci, pentru a găsi raza cercului nostru următor, să găsim curbura fiecărui cerc pe care îl avem până acum, astfel încât să putem găsi curbura cercului următor, apoi să-l convertim în raza sa.
-
Să definim raza cercului nostru exterior ca
Pasul 1.. Deoarece celelalte cercuri se află în interiorul acestuia, avem de-a face cu curbura sa interioară (mai degrabă decât cu curbura sa exterioară) și, în consecință, știm că curbura sa este negativă. - 1 / r = -1/1 = -1. Curbura cercului mare este - 1.
-
Razele cercurilor mai mici sunt pe jumătate mai mari decât cele ale cercului mare sau, cu alte cuvinte, 1/2. Deoarece aceste cercuri se ating și cercul mare cu marginea lor exterioară, avem de-a face cu curbura lor exterioară, deci curburile lor sunt pozitive. 1 / (1/2) = 2. Curburile cercurilor mai mici sunt ambele
Pasul 2..
-
Acum, știm că a = -1, b = 2 și c = 2 pentru ecuația teoremei noastre a lui Descartes. Să rezolvăm pentru d:
- d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a))
- d = -1 + 2 + 2 ± 2 (sqrt (-1 × 2 + 2 × 2 + 2 × -1))
- d = -1 + 2 + 2 ± 2 (sqrt (-2 + 4 + -2))
- d = -1 + 2 + 2 ± 0
- d = -1 + 2 + 2
-
d = 3. Curbura următorului nostru cerc este
Pasul 3.. Deoarece 3 = 1 / r, raza cercului nostru următor este 1/3.
Pasul 6. Creați următorul set de cercuri
Folosiți valoarea razei pe care tocmai ați găsit-o pentru a desena următoarele două cercuri. Amintiți-vă că acestea vor fi tangente la cercurile ale căror curburi le-ați folosit pentru a, b și c în Teorema lui Descartes. Cu alte cuvinte, ele vor fi tangente atât la cercul original, cât și la cel de-al doilea cerc. Pentru ca aceste cercuri să fie tangente tuturor celor trei cercuri, va trebui să le desenați în spațiile deschise din partea de sus și de jos a zonei din interiorul cercului original mare.
Amintiți-vă că razele acestor cercuri vor fi egale cu 1/3. Măsurați 1/3 înapoi de la marginea cercului exterior, apoi trageți noul cerc. Ar trebui să fie tangentă la toate cele trei cercuri înconjurătoare
Pasul 7. Continuați în acest mod pentru a continua să adăugați cercuri
Deoarece sunt fractali, garniturile apoliene sunt infinit de complexe. Aceasta înseamnă că puteți adăuga cercuri din ce în ce mai mici la conținutul inimii. Ești limitat doar prin precizia instrumentelor tale (sau, dacă folosești un computer, capacitatea programului tău de a „mări”). Fiecare cerc, oricât de mic ar fi, ar trebui să fie tangent cu alte trei cercuri. Pentru a desena fiecare cerc ulterior în Garnitura dvs., conectați curburile celor trei cercuri la care va fi tangentă în Teorema lui Descartes. Apoi, folosește răspunsul tău (care va fi raza noului tău cerc) pentru a-ți atrage cu precizie noul cerc.
- Rețineți că Garnitura pe care am ales-o să o desenăm este simetrică, astfel încât raza unui cerc este aceeași cu cercul corespunzător „vizavi de el”. Cu toate acestea, să știți că nu fiecare garnitură apoloniană este simetrică.
-
Să abordăm încă un exemplu. Să spunem că, după desenarea ultimului nostru set de cercuri, dorim acum să desenăm cercurile care sunt tangente la al treilea set, al doilea set și la cercul nostru exterior exterior. Curburile acestor cercuri sunt 3, 2 și, respectiv, -1. Să conectăm aceste numere la Teorema lui Descartes, setând a = -1, b = 2 și c = 3:
- d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (sqrt (-1 × 2 + 2 × 3 + 3 × -1))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (sqrt (-2 + 6 + -3))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (sqrt (1))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2
-
d = 2, 6. Avem două răspunsuri! Cu toate acestea, pentru că știm că noul nostru cerc va fi mai mic decât oricare dintre cercurile la care este tangent, doar o curbură de
Pasul 6. (și deci o rază de 1/6) are sens.
- Celălalt răspuns al nostru, 2, se referă de fapt la cercul ipotetic de pe cealaltă parte a punctului tangent al celui de-al doilea și al treilea cerc al nostru. Acest cerc este tangentă la ambele cercuri și la cercul exterior mare, dar ar intersecta cercurile pe care le-am desenat deja, astfel încât să îl putem ignora.
Pasul 8. Pentru o provocare, încercați să creați o garnitură apoloniană nesimetrică schimbând dimensiunea celui de-al doilea cerc
Toate garniturile apoliene încep la fel - cu un cerc exterior mare care acționează ca marginea fractalului. Cu toate acestea, nu există niciun motiv pentru care al doilea cerc al tău trebuie să aibă în mod necesar 1/2 din raza primului - am ales doar să facem acest lucru mai sus, deoarece este simplu și ușor de înțeles. Pentru distracție, încercați să începeți o nouă garnitură cu un al doilea cerc de o dimensiune diferită - acest lucru va duce la noi căi interesante de explorare.
